ciências

Euclides / Elementos

Στοιχεῖα Elementa Euc. El.c. -295

O livro Στοιχεῖα, 'Os elementos', escrito por Euclides mais ou menos em -300, é um dos mais influentes textos matemáticos de todos os tempos.

Sumário

Até hoje os jovens estudam a “geometria euclidiana” nos primeiros anos escolares, notadamente os conceitos desenvolvidos no Livro I.

O tratado é, na realidade, uma compilação pedagógica de conhecimentos e contribuições de matemáticos anteriores, notadamente Eudoxo de Cnido (-400/-347) e Teeteto (-417/-369), organizada em treze livros e apresentada de forma didática e consistente.

Resumo

O texto é extenso; com os diagramas, ocupa cerca de 400 páginas da edição traduzida por Heath (1908), na qual se baseia este resumo.

miniaturaPapiro com texto de Euclides

O tratado começa, sem introdução ou preâmbulo, com definições, postulados e axiomas, que os modernos denominam “pressuposições”. A seguir, vêm as “proposições”, apresentadas e demonstradas com grande rigor e rara clareza, com base nos pressupostos. A complexidade é crescente e à medida que o texto avança as proposições se apeiam em pressupostos e proposições anteriormente demonstradas.

Os livros 1-6 abordam a geometria plana; os livros 7-9 lidam com a teoria dos números; o livro 10 apresenta a teoria dos números irracionais; os livros 11-13 tratam da geometria tridimensional:

Livro 1 Os fundamentos da geometria: teorias dos triângulos, paralelas e áreas. Livro 2 Álgebra geométrica. Livro 3 Teoria dos círculos. Livro 4 Construções para figuras inscritas e circunscritas. Livro 5 Teoria das proporções abstratas. Livro 6 Figuras similares e proporções em geometria. Livro 7 Fundamentos da teoria dos números. Livro 8 Proporções contínuas na teoria dos números. Livro 9 Teoria dos números. Livro 10 Classificação de incomensuráveis. Livro 11 Geometria sólida. Livro 12 Medida de figuras. Livro 13 Sólidos regulares.

Há fortes suspeitas de que o Livro 13 não tenha sido escrito por Euclides. Alguns manuscritos trazem mais dois livros, o 14 e o 15, comprovadamente espúrios.

Manuscritos, edições e traduções

Grande quantidade de manuscritos de Os elementos chegou aos nossos dias, o que atesta sua popularidade entre os antigos; mas seu valor, como de hábito, é muito desigual. O mais importante, conhecido por “P”, é o Vaticanus Graecus 190, do século X, atualmente na Biblioteca do Vaticano. A Biblioteca Bodleiana de Oxford guarda também um manuscrito de excelente qualidade, o Contantinopla 888 (MS. D'Orville 301), do século X, com diversas ilustrações.

Há referências a uma antiga edição, preparada pelo filósofo neoplatônico Teon de Alexandria (c. 335/405), pai da filósofa Hipatia, em 364.

A editio princeps do texto grego foi preparada pelo teólogo alemão Simon Grynaeus (1493/1541) e publicada em 1533 por Hervagius, em Basileia. A edição moderna mais importante ainda é a de Johann Ludwig Heiberg (1854/1928), completada entre 1883 e 1888. A melhor edição atualmente disponível, utilizada aqui, é a de Stamatis (1969/1973), na realidade uma revisão atualizada do texto de Heiberg.

Passagens selecionadas

Em português, traduções da versão latina foram publicadas diversas vezes entre 1758 e 1855. Uma tradução direta do grego foi efetuada por Irineu Bicudo, professor do Departamento de Matemática da UNESP de Rio Claro; o primeiro livro de Euclides foi publicado em 2001 e a tradução completa, em 2009.