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Hipócrates de Quios / As lunas

O esquema mostra as bases da solução proposta por Hipócrates de Quios para o antigo problema da quadratura do círculo. Trata-se, a bem da verdade, de uma solução parcial, pois Hipócrates conseguiu comprovar somente que certas partes do círculo podem ser representadas por quadrados de mesma área.

Fig. 0052. A luna de Hipócrates de Quios.

No esquema ao lado, portanto, a área da luna[1] AEB é igual à área do triângulo ABO.

A comprovação se baseia em três enunciados matemáticos bem conhecidos:

  1. o teorema de pitágoras;
  2. um ângulo incrito em um semicírculo é um ângulo reto;
  3. as áreas de dois círculos ou semicírculos são proporcionais entre si, assim como o quadrado de seus diâmetros.

Demonstração:

  • o centro do círculo onde fica o arco AEB é o ponto D, que é o ponto médio da hipotenusa do triângulo retângulo isósceles ABO;
  • o diâmetro AC do círculo maior ABC é √2 vezes o diâmetro do círculo menor, onde está o arco AEB;
  • consequentemente, o círculo menor tem metade da área do círculo maior;
  • o semicírculo em contato com o arco AEB e o diâmetro AB têm, portanto, a mesma área que o quarto de círculo em contato com o arco AFB e os dois raios OA e OB;
  • subtrair de ambos os lados dessa igualdade a área da região em contato com o arco AFB e a linha AB produz o resultado.

Veja demonstrações matemáticas detalhadas da descoberta de Hipócrates de Quios nos nexus externi e nas referências.

Notas

  1. Luna ou lúnula (do lat. luna, ‘lua’) é uma figura geométrica plana, limitada por dois arcos circulares de raios diferentes (Boyer, 1998, p. 94).
    Imagem: Esboço anônimo, Wikipedia pd.

Referências

Wikipedia, The Free Encyclopedia, Lune of Hippocrates. Disponível em http://en.wikipedia.org. Consulta: 21/03/2009.

Créditos das ilustrações

0052Desenho de Michael Hardy, 07/03/2009. Fonte: Wikimedia Commons/ Domínio público.

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Artigo nº 1128
publicado em 23/03/2009.
Licença: CC BY-NC-ND 4.0
Como citar esta página:
RIBEIRO JR., W.A. Hipócrates de Quios / As lunas. Portal Graecia Antiqua, São Carlos. URL: greciantiga.org/arquivo.asp?num=1128. Consulta: 23/07/2017.
 
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